Um professor de ciências disse a BH que com o expresso, “em termos técnicos você tem fluxos de Forchheimer em vez dos bons e velhos fluxos de Darcy”. O que é isso? Os leitores interessados desta série vão se lembrar Lei de Darcy de nossa discussão sobre a profundidade do leito no café expresso. Lei de Darcy é uma equação normalmente usada para prever coisas como o fluxo de água através de um aquífero ou o escoamento do petróleo através da rocha em um campo petrolífero.

Aplicando Lei de Darcy para fazer café expresso nos diz por que usar mais café diminui a taxa de fluxo através do disco — a água tem mais distância a percorrer, o que aumenta o efeito do resistência do disco. No entanto, as coisas nunca são tão simples.

Henry Darcy elaborou a sua equação em meados do século XIX, medindo o fluxo de água através de uma coluna de areia, e os seus resultados só se aplicam a este tipo de fluxo lento. O fluxo mais rápido em um expresso disco se comporta de maneira um pouco diferente e, para entender por quê, precisamos examinar mais detalhadamente Lei de Darcy e quais suposições ele faz.

O que é Lei de Darcy?

Lei de Darcy é uma equação que prevê a taxa de fluxo de um líquido através de uma coluna de material poroso.

• A permeabilidade é uma medida da facilidade com que o líquido passa através de algo – por exemplo, o cascalho é mais permeável do que a areia fina.
• Área é a área da seção transversal da coluna
• A diferença de pressão através da coluna pode vir da gravidade ou, no caso do café expresso, da nossa bomba
• Viscosidade é a 'espessura' de um líquido, ou como ele resiste ao fluxo
• Comprimento é o comprimento da coluna pela qual o líquido deve passar

Esta equação nos mostra que fazer a coluna com o dobro da largura permite que o dobro da água flua, enquanto torná-la com o dobro do comprimento reduz pela metade a vazão. Dobrar a pressão também deveria dobrar a vazão - mas sabemos que no expresso isso não acontece - então por que isso acontece? Lei de Darcy quebrar neste caso?

Número de Reynolds

Lei de Darcy só é válido para fluxo lento, onde o fluxo é principalmente laminar — por outras palavras, onde a água moléculas passar em linha reta, em vez de criar turbulência que interfere no fluxo.

Esquerda: fluxo laminar / direita: fluxo turbulento.

O Número de Reynolds é uma medida que prevê se o fluxo em um líquido será laminar ou turbulento – números mais altos indicam uma maior probabilidade de fluxo turbulento. Líquidos menos viscosos e de movimento mais rápido têm números de Reynolds mais elevados – portanto, a água flui rapidamente através de um expresso disco tem um número de Reynolds mais alto do que o petróleo que escoa através da rocha.

Nos números de Reynolds acima de 10, o turbulência torna-se significativo o suficiente para que Lei de Darcy não é mais preciso. Quando isso acontece, precisamos introduzir uma correção na equação – conhecida como Termo de Forchheimer.

A Lei Darcy-Forchheimer

Cerca de 50 anos depois de Darcy ter derivado sua equação, Forchheimer a refinou adicionando um termo adicional para explicar o efeito de turbulência. (Forchheimer, 1901) Este termo amplia a equação e permite que ela funcione em altas vazões. (JQ Zhou et al, 2019).

O turbulência em altas taxas de fluxo cria resistência, o que significa que é necessária mais pressão para atingir uma determinada taxa de fluxo. O termo de Forchheimer é, portanto, um fator de correção, que calcula a pressão extra necessária para atingir uma determinada vazão quando o fluxo é turbulento.

O tamanho do termo aumenta com o quadrado da vazão, o que significa que para dobrar a vazão, a pressão extra necessária devido a turbulência quadruplica – portanto, quanto mais rápido o fluxo, mais importante se torna esse fator. Por que exatamente isso acontece, no entanto, ainda é objeto de debate e pesquisa ativa. (M Agnaou et al, 2017)

O que acontece em alta pressão?

Mesmo com a correção de Forchheimer, a equação ainda prevê que o aumento da pressão aumentará o fluxo. No entanto, no expresso este não é o caso – além de um certo ponto, o aumento da pressão na verdade diminui o fluxo, devido ao disco compactação. (Rao, 2013) No entanto, parece que a Lei Darcy-Forchheimer ainda poderia ser aplicada nestas condições.

Nos termos de Darcy, o que está a acontecer aqui é que o aumento da pressão está a reduzir a permeabilidade da cama, compactando o disco e assim reduzindo o tamanho das lacunas ou poros entre as partículas. Este efeito foi observado em rochas ou solos profundos na terra, que são compactados pelo peso do material acima deles - este efeito é chamado pressão confinante.

Lei de Darcy e seus derivados ainda são usados como base para modelar o fluxo no café expresso, mais de 150 anos depois de ter sido proposto pela primeira vez. (A Fasano e F Talamucci, 2000). Como a extração altera tanto a viscosidade do líquido, como se torna expresso, e a permeabilidade do meio, como o disco No entanto, essas equações só podem contar uma parte da história.

Referências

M Agnaou, D Lasseux, A Ahmadi, 2017. Origem do desvio inercial de Lei de Darcy: Uma investigação a partir de uma análise microscópica de fluxo em estruturas de modelos bidimensionais. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.96.043105

PH Forchheimer, 1901. Wasserbewegung durch Boden. Zeitschrift Verein Deutscher Ingenieure 45, n. 50, pp.

S Rao, 2013. Capítulo 3: Pressão da bomba. In: Extração de Café Expresso: Medição e Domínio

J‐Q Zhou, Y‐F Chen, L Wang, MB Cardenas, 2019. Relação universal entre permeabilidade viscosa e inercial de meios geológicos porosos. https://doi.org/10.1029/2018GL081413